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La circonferenza trigonometrica

Nella figura 284 è stata tracciata una circonferenza, di centro O e raggio r. Il punto P di intersezione della circonferenza con una semiretta, uscente dall'origine, ha le coordinate (x ; y).

Dal capitolo precedente (vedi "Le funzioni trigonometriche"), possiamo dedurre che:

Se a è acuto, il punto P (x ; y) si trova nel primo quadrante, quindi x > 0 e y > 0. Ne consegue che sena > 0, cosa >0, tga > 0

Sono pure positive le tre funzioni inverse coseca , seca , cotga .

Se l'angolo a è ottuso, e minore dell'angolo piatto, il punto P (x ; y) si trova nel secondo quadrante, quindi x < 0 e y >0, da cui si ha; sena > 0, cosa < 0, tga < 0, cotga < 0.
Se l'angolo a è maggiore dell'angolo piatto e minore di 3/2 p, il punto P (x ; y) si trova nel terzo quadrante, quindi x < 0 e y < 0, da cui sena <0, cosa <0, tga >0, cotga >0.
Se l'angolo a infine, è maggiore di 3/2p e minore di 2p , il punto P (x ; y) si trova nel quarto quadrante, quindi x >0 e y < 0, da cui sena < 0, cosa > 0, tga < 0, cotga < 0.

Riassumendo si ha:

0		p/2		p		3/2 p		2 p

sen	+		+		-		-
cos	+		-		-		+
tg	+		-		+		-
cotg	+		-		+		-

Supponiamo, ora, che la circonferenza abbia raggio r uguale all'unità di misura scelta per gli assi cartesiani.

Questa circonferenza, con centro nell'origine e raggio unitario, viene chiamata circonferenza trigonometrica (fig. 285)

Essendo r = 1 abbiamo:

Osservazioni:

Consideriamo la circonferenza trigonometrica e un angolo a ,per esempio, nel primo quadrante (fig. 286).

La retta del raggio incontra in T la retta tangente alla circonferenza nel punto A, detto origine degli archi.

Tale punto è l'intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle x.

Consideriamo i due triangoli OHP e OAT. Essi sono simili, in quanto sono entrambi rettangolari ed hanno l'angolo a in comune.

Possiamo quindi porre in proporzione i lati:

OH : OA = PH : TA ;

essendo OH = cosa PH = sena , OA = r = 1, abbiamo:

cosa : 1 = sena : TA

Ma sappiamo che tga = y/x, quindi si può concludere che il segmento TA rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo a.

Dalla fig. 286 si può osservare che i punti A e P non definiscono un solo arco, ma infiniti archi, differenti tra loro, di multipli dell'intera circonferenza. Infatti, se immaginiamo di muovere un punto sulla circonferenza, partendo da A, fino alla posizione P, si viene a formare l'angolo a° (oppure a). Ma se proseguiamo nella rotazione fino a ritornare in P, si forma un angolo a° + 360° (oppure a + 2p).

Proseguendo nella rotazione, in modo da tornare nuovamente in P, si ha un angolo a° + 2 * 360° (oppure a + 4p).

In generale, gli infiniti angoli si hanno dalla formula:

a + k * 360° oppure a + 2 * k * p,

dove k può assumere i valori: 0; 1; 2; 3;....